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AMPLITUDES DE ESPALHAMENTO EM TEORIA DE SUPERCORDASLuiz Antonio Barreiro1,Ricardo Medina21Fundação de Ensino e Pesquisa de Itajubá – FEPI2 Universidade Federal de Itajubá -UNIFEIbarreiro@universitas.edu.brRESUMONeste trabalho são apresentados os progressos recentes nos cálculos de amplitudes de espalhamentode supercordas abertas, em nível de árvore, com mais do que quatro estados externos sem massa. Sãotambém apresentados os termos correspondentes nas lagrangeanas efetivas em baixas energias.Palavras chave: Supercordas, lagrangeanas efetivas, amplitudes de espalhamento e modelo padrão.1. IntroduçãoNo estudo da física de altas energias na atualidade, uma dasteorias mais promissoras, mas que tem ocasionado uma sériede controvérsias é a chamada teoria de supercordas. Como ateoria de supercordas e o próprio tratamento matemático dateoria são bastante complexos e ainda estão emdesenvolvimento, uma das alternativas para se obterresultados é trabalhar com o que chamamos de lagrangeanasefetivas. A formulação lagrangeana, desenvolvida no séculoXVIII para o estudo da mecânica celeste, representa umaperspectiva matemática avançada da mecânica de IsaacNewton. Afortunadamente, a formulação lagrangeanaprovou, nos meados do século XX, se adequar naturalmenteaos problemas envolvendo partículas subatômicas(explicadas pela mecânica quântica) em regimes de altasenergias (explicados com teoria da relatividade). Assim,nesse trabalho, será apresentado o método das amplitudes deespalhamento para construção de lagrangeanas efetivasutilizadas no problema de espalhamento envolvendo teoria desupercordas.2. Lagrangeana de Born-Infeld no contexto da Teoria deSupercordasNos aceleradores de partículas modernos, como no CERN(Centro Europeu para a Pesquisa Nuclear), situado nafronteira franco-suíça, se fazem colidir partículas com ointuito de se estudar as leis fundamentais que regem anatureza. As amplitudes de espalhamento representam aformulação matemática de como as partículas são espalhadasdevido a essas colisões. Amplitudes de espalhamento podemser calculadas utilizando a teoria de supercordas e aslagrangeanas efetivas vindas da teoria.Como ponto de partida, consideraremos a conhecidalagrangeana do campo eletromagnético[1]:
= −  (1)onde  =   −  é o tensor eletromagnético e oquadri-potencial eletromagnético, , está relacionado aoscampos elétrico e magnético.  representa a “partícula docampo magnético”, o fóton. Notemos que na lagrangeana (1)aparecerão termos do tipo    . (2)Um processo de espalhamento que envolva esse termo éentendido da seguinte forma: entrou um fóton e saiu umfóton . De fato, a partir da lagrangeana (1) é possíveldeterminar o comportamento do campo eletromagnético.Esse mesmo procedimento pode ser estendido a todas asoutras partículas e interações fundamentais da naturezanaquilo que é chamado de modelo padrão. A única exceção éa interação gravitacional, explicada pela teoria geral darelatividade. De fato, um dos objetivos da teoria desupercordas é justamente conseguir tratar a forçagravitacional com a mesma formulação matemática utilizadano atual modelo padrão.Além de incluir a força gravitacional no modelo padrão, ateoria de supercordas inclui correções no próprio modelopadrão. Um dos primeiros trabalhos, apresentando correçõesà lagrangeana eletromagnética se deve a Fradkin e Tseytlin[2]:ℒ = −14 +    −  + (termos com potências maiores e pares em ) (3)A expressão (2) é conhecida como lagrangeana de Born-Infeld e somente potências pares de  aparecem naexpressão. Como  é bem menor que 1, quanto maior suapotência, menor será sua contribuição. Assim, a expressão (2)é uma expansão cujos termos de ordem superior representamapenas pequenas perturbações no termo de ordem zero. Noentanto, apesar das correções serem pequenas, suasignificância aumenta com o aumento da precisão dasmedidas e com a escala de energia em que é realizado oexperimento.3. Teorias de Yang-MillsA lagrangeana (1), bem como a lagrangeana de Born-Infeld,eq. (3) se restringem a campos eletromagnéticos. Em ordemzero na expansão, vemos que o número de fótons não sealtera, eq. (2). Isso significa que o campo eletromagnéticonão interage com ele mesmo. Entretanto, existem outrasinterações fundamentais da natureza, que estão presentes nomodelo padrão, e não seguem esse comportamento. São elasas interações fraca e forte. Essas interações estão presentesno núcleo atômico.A diferença na estrutura matemática entre as váriasinterações do modelo padrão reside no fato que os campos são multiplicados por matrizes unidimensionais (números)para a interação eletromagnética, multiplicados por matrizes2x2 para a interação fraca e multiplicados matrizes 3×3 paraa interação forte. Chamamos a teoria eletromagnética deteoria abeliana e outra teorias, que envolvem matrizes, sãochamadas de teorias não-abelianas Essas matrizes pertencemao grupo de matrizes especiais de N dimensões, denominadosSU(N). Para essas interações o tensor do campo tem a forma: =   −   +  , ! (4)onde  , ! =   −  e  é uma constante queindica a intensidade do acoplamento dos campos. Como alagrangeana deve ser um escalar (um número), calculamos otraço da expressão (1) para obter lagrangeanas quedescrevam as interações fracas e fortes, obtendo as chamadaslagrangeanas de Yang-Mills.4. Lagrangeanas efetivasAté agora só discutimos lagrangeanas envolvendo interaçõesentre partículas de matéria, mas as próprias partículas dematéria ainda não foram incluídas. Partículas de interação sãochamadas de bósons e partículas de matéria são chamadas deférmions. Assim, tanto a lagrangeana (1) como a (3)envolvem somente bósons. Entretanto, devemos incluir osférmions. Assim, a forma geral de uma lagrangeanadescrevendo interações (bósons) e partículas de matéria(férmions) é escrita como [3]ℒ = − “#$ + “#$   −  +&é$()*” + #+$()” ,+$-.#-)” (5)onde str representa o traço simetrizado das matrizes daexpressão. Os termos envolvendo somente os tensores  são conhecidos em todas as ordens em . Por outro lado, ostermos fermiônicos e os termos derivativos não sãoplenamente conhecidos. Esses termos podem serdeterminados por comparação das amplitudes deespalhamento vindas diretamente da teoria de supercordas eamplitudes vindas de lagrangeanas efetivas. Com isso,determinam-se quais são os termos e qual é a importância decada termo na lagrangeana efetiva.5. Amplitudes de EspalhamentoA fórmula geral da amplitude de espalhamento de bósons, emnível de árvore, vinda da teoria de supercordas é [4]/ 0 =  2234 5 + ⋯+ 50
× Σ?<…?> #$ 9:;< …9:;> @ …@0 (6)onde M representa o número de partículas envolvidas noespalhamento, 9:; são as matrizes do grupo SU(N) e @ …@0 = A>B CD>FE G0H − G G0 − G
sendo a função & I, 5, J,K dada por& I, 5, J,K ==LJM − J?KMIM. 5? 2′  F − 1F2KMK?IM. I? 2′PFGM − G? − JMJ?0MQ?As variáveis JM e KM são variáveis de Grassmann, enquanto GMsão variáveis reais. IM + 5M são as polarizações e os momentados campos, respectivamente.O próximo passo será construir lagrangeanas queefetivamente reproduzam a amplitude de supercordas (6). Aestrutura geral de uma lagrangeana efetiva para bósons tem aseguinte forma [3]:ℒ = #$[ +  + S T + U
+′ V + UT + U + ⋯ ] (7)O termo  é uma forma compacta de representar a primeiralinha da expressão (5) o termo  representa os termospresentes na segunda linha da expressão (5) e os termosUWX representam os termos derivativos. Os termosderivativos para o espalhamento de 4 bósons foram todosdeterminados na referência [5]. Para cinco bósons os termosforam determinados em [6].6. Amplitude de 5 PartículasNa referência [6] obteve-se o seguinte resultado para aamplitude de 5 bósons: TY 1,2,3,4,5 = \. T]Y 1,2,3,4,5
+ 2^S. T]Y_ 1,2,3,4,5 (8)Nesta fórmula, T]Y 1,2,3,4,5 e T]Y_ 1,2,3,4,5 sãoamplitudes obtidas da lagrangeana (5), enquanto \ e ^S sãofatores dependentes de  que tem expansões totalmenteconhecidas [6]. Dessa forma, a amplitude descrita naexpressão (8) possui as correções em todas as ordens em .Nesse ponto introduziremos os férmions. Baseado naspropriedades da amplitude apresentadas na expressão (8), ahipótese que aqui é feita sugere que as amplitudes deespalhamento para 3-bósons/2-férmions e para 1-bóson/4-férmions tem a mesma estrutura que a amplitude de 5-bósonsda expressão (8). Assim, TY 1,2,3,4,5 = \. ℒ`TY 1,2,3,4,5
+ 2^S. ℒTY 1,2,3,4,5 (9) SY/b 1,2,3,4,5 = \. ℒ`SY/b 1,2,3,4,5
+ 2^S. ℒSY/b 1,2,3,4,5 (10) Y/b 1,2,3,4,5 = \. ℒ`Y/b 1,2,3,4,5
+ 2^S. ℒY;b 1,2,3,4,5 (11)Sendo a lagrangeana em ordem zero em  dada porℒ3 = #$  + defUd (12)e a lagrangeana ℒ é dada porℒ = #$  + U defd + U defd +  defd
(13)onde está sendo considerado somente os termos quecontribuem para a amplitude de 5 partículas. A lagrangeanaℒ foi completamente determinada na referência [7].Um primeiro teste para as expressões (10) e (11) consiste nofato que, por construção, elas devem reproduzir asamplitudes de 3-bósons/2-férmions e 1-bóson/4-férmions emordem  vindas diretamente da seguinte lagrangeanaℒgbghMi: = ℒ3 + ℒ (14)Outro teste garantindo que as expressões (10) e (11) sãocorretas em todas as ordens em  é dado pelastransformações de superssimetria [3]. A soma das variaçõesdas expressões (9), (10) e (11) sob as seguintestransformações de superssimetria,4 : =2 jkfd:4d: = −14 : fj4de: = −14jkf :se anula após considerarmos as condições de estado físico, nacamada de massa, juntamente com a conservação demomentum. Os resultados positivos desses testes comprovama hipótese apresentada nas expressões (10) e (11).7. Termos ′SU defdOs termos derivativos envolvendo férmions, em ordem ′,já foram determinados na lagrangeana ℒ, Eq. (13). Nesteponto iniciaremos a construção dos termos derivativos quecontribuem para o espalhamento de 1 bóson e 4 férmions, emordem ′S, os quais são ainda desconhecidos. Esses termostem a seguinte forma geralℒAgl:m = ′SWnUWoWpdWq (15)com *M sendo a multiciplidade de cada elemento. Asrespectivas dimensões de cada elemento são:[r =
S, [′r =
, [Ur =
H, [r =
HT, [dr =
HSF.onde L representa dimensão de espaço-tempo. Como a teoriade supercordas bosônicas abertas apresenta resultados finitosem um espaço-tempo de 10 dimensões, a dimensão dalagrangeana (15) deve serℒAgl:m! =
H3Com esse resultado em mente, voltamos à expressão geral(15) e vemos que as multiplicidades devem obedecer aseguinte relação,3*A − *s − 5*] −P *t = 16 (16)Por outro lado, uma redefinição dos campos, de modo que aconstante de acoplamento não apareça explicitamente nalagrangeana. Isso permite escrever uma nova relação para asmultiplicidades*A − *] − *t = 16 (17)Considerando as relações (16) e (17), a partir da espressãogeral (15), podemos construir os termos lagrangeanaosdesejados. Esses termos serão classificados de acordo com onúmero de índices de espaço-tempo contraídos. Assim,podemos escrever [8]:· Termos com três pares de índicesℒ S = .:,Y,v,w,g S U,:UdeYfdvdewfdg+x:,Y,v,w,g S U,:UdeYfdvdewfdg+y:,Y,v,w,g S U,:UdeYfdvdewfdg+,:,Y,v,w,g S ,:UdeYfUdvdewfdg++:,Y,v,w,g S ,:UdeYfUdvdewfdg+&:,Y,v,w,g S ,:UdeYfUdvdewfdg+:,Y,v,w,g S ,:UdeYfdvUdewfdg+ℎ:,Y,v,w,g S ,:UdeYfdvUdewfdg+:,Y,v,w,g S ,:UdeYfdvUdewfdgonde os coeficientes do tipo .:,Y,v,w,g S são formados pelo traçode combinações lineares de produtos de cinco matrizes 9: ,9Y, 9v 9w e 9g do grupo SU(N).Alem desses, encontramos termos equivalentes com umnúmero maior de índices de espaço-tempo.· Termos com quatro pares de índicesℒ  = .:,Y,v,w,g  U,:UdeYf dv dewfdg + ⋯· Termos com cinco pares de índicesℒ T = .:,Y,v,w,g T U,: UdeYf{dvdewf{dg + ⋯· Termos com seis pares de índicesℒ V = .:,Y,v,w,g V U,: UdeYf{|dv dewf{|dg +⋯· Termos com sete pares de índicesℒ } = .:,Y,v,w,g } U,: UdeYf{|~dv dewf{|~dg +⋯O ponto central para se obter os termos derivativos está nadeterminação dos coeficientes .:,Y,v,w,g W … :,Y,v,w,g W quemultiplicam cada termo lagrangeano. Por outro lado, essescoeficientes são formados pelo traço de matrizes do grupoSU(N), os quais obedecem as seguintes relações&:Yv = − #$[9:9Y − 9Y9:r9v (18),:Yv = #$[9:9Y + 9Y9:r9v (19)onde &:Yv são conhecidas como constantes de estrutura dogrupo. Assim, pode-se utilizar essas relações para escrever oscoeficientes .:,Y,v,w,g W … :,Y,v,w,g W como produtos de constantesde estrutura, cujas possíveis combinações que tem 5 índiceslivres (a, b, c, d, e) são listadas abaixo:&:gW&YXW&vwX, &:wW&YXW&vgX, &:gW&YwWX&vXW,&:wW&YgX&vXW, &:vW&YXW&wgX, &:YW&vXW&wgX,&:gW&YvX&wXW, &:vW&YgX&wXW, &:YW&vgX&wXW,&:wW&YvX&gXW, &:vW&YwX&gXW, &:YW&vwX&gXW. (20)È possível escrever qualquer produto de três ou maisconstantes de estrutura com 5 índices livres como umacombinação dos 12 produtos listados acima. Temos umconjunto correspondente para as constantes ,:Yv.Nesse ponto, serão utilizadas as regras de Feynman [9]para obter as amplitudes de espalhamento de 4-férmions/1-bóson. O ponto de partida é o conjunto de diagramas deFeynman a seguir:Fig. 1: Diagramas de Feynman.Através das regras de Feynman, cada um desses diagramasestá associado a uma expressão matemática que representa oespalhamento de partículas. As linhas retas representam osférmions enquanto as linhas em espiral representam osbósons. De modo simplificado, as regras de Feynmandescrevem as amplitudes da seguinte forma: As linhas deférmions externas, representam os espinores (funções querepresentam os férmions), enquanto as linhas de bósonsexternas, representam vetores de polarização, que serãoincluídos na amplitude de espalhamento. Já as linhas internas(que ligam dois pontos ou vértices) representam ospropagadores, que tem expressões matemáticas bemdefinidas, tanto para bósons como para férmions. Finalmente,cada vértice (com três, quatro ou cinco linhas) também temrespectivas expressões matemáticas. Todas essas regras sãodeterminadas a partir das lagrangeanas ℒ S, ℒ , ℒ T, ℒ V
e ℒ }. Assim, obtêm-se a amplitude de 4-férmions/1-bóson ecompara-se com o resultado Y/b encontrado na equação(11). Dessa comparação, a completa estrutura doscoeficientes .:,Y,v,w,g W … :,Y,v,w,g W será determinada.Os primeiros resultados mostram que todos os termosenvolvendo ,:Yv não contribuem, somente as constantes deestrutura &:Yv sobrevivem. Esse é o resultado esperado, poisno limite abeliano (eletromagnético) da teoria, temossomente potências pares em  (eq. 3), portanto asamplitudes em S não contribuem (devem se anular). Como&:Yv anula-se no limite abeliano, basta que a amplitudecontenha somente &:Yv em sua estrutura matemática, para elase anular nesse limite.8. ConclusõesDe forma resumida, podemos concluir que a estrutura daamplitude segue o mesmo padrão, seja para bósons ouquando temos férmions envolvidos, como mostrado nasequações (9), (10) e (11).Também os primeiros resultados indicam que asamplitudes, bem como os termos derivativos envolvendoférmions em ordem S, presentes na lagrangeanaapresentam somente as constantes de estrutura &:Yv, comcombinações apresentadas na lista (19), como requerido pelolimite abeliano.9. Referências[1] L. Landau e E. Lifshitz, Coleção de Física Teórica, Vol.2, Editora Mir.[2] E. S. Fradkin e A.A. Tseylin, Phys. Lett. B 163 (1985),123.[3] R. Medina e L. A. Barreiro, Proc. Sci. – FifthInternational Conference on Mathematical Methods inPhysics – IC2006[4] M. B. Green, J. H. Schwarz e E Witten, SuperstringTheory, vol. I: Introduction, Cambridge, 1987.[5] F. Machado e R. Medina, Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.)127 (2004), 166.[6] L. A. Barreiro e R. Medina, JHEP 05(03)055.[7] M. Cederwall, B.E.W. Nilson e D. Tsimpis, JHEP01(07)042[8] L. A. Barreiro e R. Medina, em preparação.[9] S. M. Bilenky, Introduction to Feynman Diagrams,Pergamon Press,